unsorted ~ Существование числа как объективное явление

Есть ли у числа объективное основание?

Возраст: 54 C нами с 26.01.2005 Репутация: **213.2**

H14sk, браво! Аплодисменты

Хотя, конечно, все эти первые следствия аксиом довольно просты, если не очевидны Юзер

(и позор мне, что я не возразил Illusionist'у Сдаюсь

)
Если уж уточнять, что еще необходимо для такого построения, чего я явно не указал в первом посте про Ø, то, как я понимаю, нужна аксиома равенства и аксиома объединения. Чтобы воспринять же все натуральные числа сразу, понадобится аксиома бесконечности. Умник

C нами с 01.05.2006 Репутация: **0.3**

plasma писал(а):

не является очевидным возможность существования чисел вне разума, могущего мыслить абстрактно.

А что есть число? Я предложил считать число частным видом информации. Проигнорировали. Можно сказать, что число мера количества (вроде интуитивно верно). Количество вроде существует объективно, вне зависимости от наблюдателя и тем более от мыслящего абстракно. А то, что мера так же вроде объективна также можно предложить, например, сколько атомов должно быть для формирования молекулы, то есть, мыслящего абстракно не требуется для подсчета, само считается.

plasma писал(а):

Отличить может и сможет. Но понять что три сосны и три березы это одно и тоже - не факт. И уж точно не очевидно. Я не уверен в наличии абстрактного мышления даже у динозавров.

А так ли требуется неприменно абстрактное мышление? Кстати, даже городские люди не все могут мыслить абстракно, не считая уж наблюдений этнографов...

А вот поименование топика "Существование числа как абстрактного понятия Может ли число существовать вне разума?" не есть корректный ход... почему бы не поименовать топик, например: "Существование числа как объективное явление Есть ли у числа объективныое основание?"? А так, Вы формулируя самостийно вопрос обеспечиваете себе преимущество...
На вопрос, существует ли мысль вне мыслителя, ответ очевиден, по определению. Но вот если вопрос сформулиован, существует ли объективное основание для мысли вне мыслителя?

Возраст: 43 C нами с 30.01.2007 Репутация: 24

H14sk писал(а):

Предположим, что {Ø} = Ø? Повесился

...
Пусть, существуют два Ø1 и Ø2: Ø1 не равно Ø2. Тогда, в Ø1 существует элемент: не существует в Ø2. Но в Ø1 нет элементов. Повесился

Чем строить доказательства, давайте лучше обратимся к аксиомам теории множеств (нашлось в Википедии, внешняя ссылка): Аксиоматика_теории_множеств

Одна из аксиом так и называется "Аксиома пустого множества":
Существует множество e без единого элемента. Это множество обычно обозначается {} или Ø.
Таким образом вся теория множеств строится с учетом постулата существования Ø. И доказывать его в рамках этой теории нет необходимости.

Более того там еще есть одно хорошее замечание:

Цитата:

Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Эта и подобные ей системы аксиом любопытны потому, что любая математическая теория может быть «переведена» на язык теории множеств таким образом, что теоремы этой теории станут теоремами о множествах, доказуемыми из аксиом ZF.

То есть все математические понятия, такие как "число", "информация" и т.п. могут быть выражены в терминах теории множеств.

Возвращаясь к заглавному вопросу темы, здесь обнаруживается некая тавтология - числа существуют только в рамках теории, в которой их существование постулируется в качестве аксиомы Весело

Возраст: 54 C нами с 26.01.2005 Репутация: **213.2**

Illusionist, вы видно недопоняли, что именно изложил H14sk Смайлик

Он возразил вам, что те "неявные" допущения, которыми вы хотели дополнить мой пост, - что а) {Ø} не равно Ø и б) что Ø - единственно, на самом деле лишь элементарные следствия аксиом, и привел их доказательства. Если вы внимательно читали мой пост, то "аксиому пустого множества" в нем могли легко разглядеть (как и еще одну аксиому ZF Подмигивание

).

Illusionist писал(а):

числа существуют только в рамках теории, в которой их существование постулируется в качестве аксиомы

Все же постулируются не сами числа, а некие более общие объекты, из которых уже можно вывести числа. И не только числа Юзер

Возраст: 40 C нами с 26.04.2007 Репутация: **96.6**

MajorQ писал(а):

Аристотель ввел понятие атома. До него такого понятия не существовало, но это не означает, что все тела в доаристотелевские времена состояли не из атомов...

Парадоксальным образом, именно это и означает... Понятие Атом, это всего лишь способ сделать нечто видимым (makes the object communicable) определенным образом.

C нами с 15.04.2005 Репутация: **133.2**

Mor_Nikvin, строя рассуждения подобным образом попробуйте привести пример того, чего уж точно не существует вне разума. У меня не получается. Смайлик

Иными словами существуёт вообще всё, но это мне кажется несколько странным.

C нами с 01.05.2006 Репутация: **0.3**

Illusionist писал(а):

Чем строить доказательства, давайте лучше обратимся к аксиомам теории множеств (нашлось в Википедии, внешняя ссылка): Аксиоматика_теории_множеств

Не понял... Почему это лучше? Гораздо интереснее наоборот. У Вас же в топике понятие Ø уже возникло, значит, расшифровываю: назовем Ø - множество не содержащее элементов. Предположим, что множество не содержащее элементов не существует, тогда множество {Ø} или { } должное бы состоять из Ø суть пусто, т.е. не содержит элементов, тогда и предложим его в качестве Ø. Противоречие с предположением. А что Вам не нравится? Подмигивание

Безусловно, я очень ценю любителей википедии, но даже в википедии существуют разные статьи, например: Пустое множество. Цитирую: "Некоторые аксиоматические теории множеств гарантируют существование пустого множества путём включения аксиомы о пустом множестве; в других теориях существование пустого множества может быть выведено из других аксиом."

Illusionist писал(а):

Более того там еще есть одно хорошее замечание:

Там же, раз уж Вы приняли существование Ø аксиоматически, то принимая Аксиому (принцип) расширяемости - "Из принципа расширяемости, два множества равны, если они содержат одинаковые элементы; таким образом, может быть только одно множество без элементов." По Вашей ссылке это "Аксиома объёмности".
Раз уж Вы заметили там "одно хорошее замечание", то можно бы заметить и другое... Вотъ.

Возраст: 43 C нами с 30.01.2007 Репутация: 24

H14sk писал(а):

Гораздо интереснее наоборот. У Вас же в топике понятие Ø уже возникло, значит, расшифровываю: назовем Ø - множество не содержащее элементов. Предположим, что множество не содержащее элементов не существует, тогда множество {Ø} или { } должное бы состоять из Ø суть пусто, т.е. не содержит элементов, тогда и предложим его в качестве Ø. Противоречие с предположением. А что Вам не нравится? Подмигивание

Безусловно, я очень ценю любителей википедии, но даже в википедии существуют разные статьи, например: Пустое множество. Цитирую: "Некоторые аксиоматические теории множеств гарантируют существование пустого множества путём включения аксиомы о пустом множестве; в других теориях существование пустого множества может быть выведено из других аксиом."

Согласен, в других системах аксиом может быть по другому, но в некотором смысле они считаются эквивалентными, так как на них строятся эквивалентные теории. И раз уж мы обсуждаем здесь вопрос существования, думаю стоит упомянуть, что каждая система аксиом включает в себя утверждение вида: "существует по крайней мере одно множество", и уже с этой точки отсчета начинается дальнейшее построение.

Разговор о единственности я начал лишь как о примере постулата, не спорю, что это утверждение также может быть следствием аксиом Ага

C нами с 01.05.2006 Репутация: **0.3**

http://www.philosophy.nsc.ru/journals/philscience/14_02/zelischev.htm
Общепринятым в литературе по теории множеств является обсуждение одной аксиоматической системы, а именно системы Цермело – Френкеля. Она является «стандартной» системой, а все остальные – в какой-то степени, если использовать сильные выражения, «экзотическими» системами (например, таково мнение о системе «New Foundations» В.Куайна). Больше того, в силу этой стандартности многие стали считать, что именно данная аксиоматика отвечает внутренним свойствам множеств, что аксиомы естественно следуют из понятия множества. Как выразилась Мэдди, некоторые математики полагают аксиоматическую систему теории множеств Цермело – Френкеля буквальной истиной, а остальные дополнительные аксиомы или кандидаты на то, чтобы быть аксиомами, – просто метафизикой. Между тем статус стандартных аксиомы Цермело – Френкеля приобрели в силу исторической случайности, и поэтому они никак не могут занимать какого-то привилегированного положения по сравнению с другими аксиоматическими системами. И уж тем более, аксиомы Цермело – Френкеля не имеют предпочтительного эпистемологического статуса по сравнению с другими аксиомами в двух смыслах. Во-первых, эпистемологический интерес могут представлять другие аксиоматические системы, и, во-вторых, даже в рамках системы Цермело – Френкеля некоторые кандидаты в аксиомы могут эпистемологически выглядеть не менее респектабельными.

Аксиома экстенсиональности
Первой традиционно идет наиболее очевидная аксиома – аксиома экстенсиональности, которая формулируется следующим образом:
Если два множества имеют одни и те же элементы, они тождественны.

Аксиома пустого множества
Следующая аксиома – это аксиома пустого множества. Она представляет технический интерес, будучи отправной точкой в конструировании всех остальных множеств. Однако с эпистемологической точки зрения эта аксиома очень важна. Дело в том, что принято проводить разделительную линию между логикой и теорией множеств таким образом, чтобы все экзистенциальные утверждения принадлежали к теории множеств, в то время как логика ничего не говорит о существовании. Такая точка зрения признается отнюдь не всеми, и далее мы рассмотрим и другие точки зрения, но пока будем считать, что теория множеств основана на логике первого порядка, которая не содержит экзистенциальных утверждений.
Существует пустое множество ∅, которое не содержит элементов.

Аксиома пары
Если a и b множества, тогда существует множество {a} с единственным элементом a, а также существует множество {a,b}, единственными элементами которого являются a и b.

Аксиома множества-суммы (аксиома объединения)
Если a есть множество, тогда существует множество ∪а – объединение всех элементов множества а; элементами нового множества являются все элементы элементов а.

Аксиома бесконечности
Имеется множество, которое содержит ∅ в качестве своего элемента, и такое, что если а есть элемент этого множества, тогда È {a, {a}} (или a È {a}) есть также элемент этого множества.

Аксиома фундирования (основания)
Если а – непустое множество, тогда имеется элемент b множества а, такой что не имеется множеств, которые принадлежат обоим множествам а и b.

Аксиома выделения
Следующей аксиомой является аксиома выделения, или аксиома подмножеств (английские термины – axiom of subsets, axiom of separation, немецкий термин – Aussonderungsaxiom), которая формулируется так:
Если а есть множество и F(x) есть некоторое правильно построенное выражение в языке Цермело – Френкеля с единственной свободной переменной, тогда существует множество b, чьи элементы являются элементами а, для которых F(a) истинно.

Аксиома замещения
Если а есть множество и F(x, y) есть вполне определенное множество в языке Цермело – Френкеля, которое ассоциирует с каждым элементом х множества а единственный элемент х*, тогда имеется множество а*, чьи элементы есть как раз те множества х*, которые ассоциируются формулой F(x, y) с элементами а.

Аксиома множества-степени
Если а есть множество, тогда имеется множество Р(а), множество-степень от а, чьи элементы – это все подмножества множества а.

Аксиома выбора
Если а есть множество, все элементы которого – непустые множества и при этом ни одно из них не имеет общих элементов друг с другом, тогда имеется множество с, которое имеет точно один общий элемент с каждым элементом а.

Приведенный список аксиом не является каким-то каноническим. Возможны другие перечни и другие аксиомы. Например, есть список аксиом, именуемый аксиомами теории множеств Цермело – Френкеля – Сколема, в который входят следующие аксиомы: 1) аксиома экстенсиональности; 2) аксиома пустого множества; 3) аксиома неупорядоченных пар; 4) аксиома множества-суммы; 5) аксиома бесконечности; 6) аксиома замещения; 7) аксиома множества-степени; 8) аксиома выбора; 9) аксиома регулярности. Наконец, имеет смысл привести исходный перечень аксиом, который появился в работе самого Цермело: 1) аксиома экстенсиональности; 2) аксиома элементарных множеств (пустое множество, единичное множество, множество пары); 3) аксиома свертывания (Aussonderung); 4) аксиома множества-степени; 5) аксиома объединения множеств; 6) аксиома выбора; 7) аксиома бесконечности.
Математики и философы, как уже было отмечено, расходятся в понимании основной цели аксиоматизации теории множеств. Многие полагают (это стало «учебной» точкой зрения), что суть аксиоматизации состоит в ограничении области множеств, с которыми математики уже имели и имеют дело, с целью недопущения парадоксов.
Аксиоматика теории множеств позволяет «рассосать» фундаментальную философскую проблему относительно природы математики. В аксиоматической теории множеств противоположность платонистской и конструктивистской позиций практически невидима. Если математика, как полагает платонист, мыслится как открытие уже существующего универсума множеств, тогда аксиомы прямо утверждают существование множества, удовлетворяющего определенным условиям. Если же математика, как полагает концептуалист, является человеческим изобретением, тогда аксиомы утверждают способ порождения из одних заданных множеств других множеств. Математика в этом смысле представляет собой структуру, в которой непротиворечиво демонстрируется существование множества. Другими словами, аксиомы позволяют так ограничить понятие множества, чтобы избежать парадоксов независимо от взгляда на природу математики.

Возраст: 54 C нами с 26.01.2005 Репутация: **213.2**

Рыся писал(а):

У меня не получается.

Рыся, какое именно рассуждение и что не получается? Сарказм

C нами с 01.05.2006 Репутация: **0.3**

http://www.philosophy.ru/iphras/library/granitsy/katasonov.htm
Священник Павел Флоренский, давший одно из первых в отечественной литературе изложений канторовской теории множеств, так описывал эту ситуацию: “Его, конечно, публика не понимает. Чего нужно ему? Для философов он “философствующий математик”, для математиков — метафизик, для индифферентных — он подозрительно религиозен, — как бы тут не было подвохов; для теологов он будто бы опасен: “не ведут ли эти умствования к пантеизму?” — вот задняя мысль теологов” (См.: О символах бесконечности (Очерк идей Г.Кантора). С. 122 // Священник Павел Флоренский. Сочинения в четырех томах. T. 1. Философское наследие. М., 1994. С. 79-128).

C нами с 15.04.2005 Репутация: **133.2**

Mor_Nikvin писал(а):

Рыся, какое именно рассуждение и что не получается?

Не получается пример абстрактного понятия, которое не существует вне разума. Вот это рассуждение: забавно то, что для "появления" чисел нет необходимости в наличии какого-либо "объекта".

У меня получается, что осознание (наличие разума) в том и состоит, чтобы абстрактно (без наличия объекта) оперировать его свойствами (это к примеру о существовании пустого множества, "абсолютного ничто").

В примере месье H14sk получается, что существует "атом", "атом", "атом" и "молекула". А вот то, что "атомов" три, а "молекула" одна — уже осознание. Параллельно возникает вопрос обоснования существования трансцендентых чисел (самого этого понятия) вне разума.

Возраст: 54 C нами с 26.01.2005 Репутация: **213.2**

Рыся писал(а):

Вот это рассуждение: забавно то, что для "появления" чисел нет необходимости в наличии какого-либо "объекта".

Я думаю, понятно, что в той фразе есть доля лукавства: объект, пусть абстрактыный, все-таки есть - специально постулируемое пустое множество. Просто он, этот объект, наделен весьма экзотическими и неочевидными сразу из определения свойствами.

Рыся писал(а):

У меня получается, что осознание (наличие разума) в том и состоит, чтобы абстрактно (без наличия объекта) оперировать его свойствами (это к примеру о существовании пустого множества, "абсолютного ничто").

Извиняюсь, но никак не могу понять, в чем проблема Стыдно

Рыся писал(а):

Параллельно возникает вопрос обоснования существования трансцендентых чисел (самого этого понятия) вне разума.

О, да!. Если с натуральными числами можно, грубо говоря, еще рассуждать на пальцах, то вот вопрос о существовании числа Пи... С другой стороны, очертив круг единичного диаметра и глядя на линию окружности... Юзер

C нами с 01.05.2006 Репутация: **0.3**

Mor_Nikvin писал(а):

О, да!. Если с натуральными числами можно, грубо говоря, еще рассуждать на пальцах, то вот вопрос о существовании числа Пи...

А, эта... дедекиндово сечение? ...

Возраст: 54 C нами с 26.01.2005 Репутация: **213.2**

H14sk писал(а):

А, эта... дедекиндово сечение? ...

Дык я имел в виду, что для чисел те же пальцы - конкретное воплощение. А вот увидеть Пи во плоти, даже в виде дедекиндова сечения... Юзер